Amb

This is an implementation of the amb operator in Haskell. Interestingly, it is identical to the list monad: remove 'amb' and the examples below work fine (apart, of course, from the IO one).

Notably, AmbT could be considered ListT done right.

import Control.Monad.Cont
import Control.Monad.State
import Control.Monad.Identity

type Point r a m = () -> AmbT r a m a
newtype AmbT r a m b = AmbT { unAmbT :: StateT [Point r a m] (ContT r m) b }
type Amb r a = AmbT r a Identity

instance MonadTrans (AmbT r a) where
    lift = AmbT . lift . lift

instance (Monad m) => Monad (AmbT r a m) where
    AmbT a >>= b = AmbT $ a >>= unAmbT . b
    return = AmbT . return

backtrack :: (Monad m) => AmbT r a m b
backtrack = do xss <- AmbT get
               case xss of
                 [] -> fail "amb tree exhausted"
                 (f:xs) -> do AmbT $ put xs
                              f ()
                              return undefined

addPoint :: (Monad m) => Point r a m -> AmbT r a m ()
addPoint x = AmbT $ modify (x:)

amb :: (Monad m) => [b] -> AmbT r a m b
amb []     = backtrack
amb (x:xs) = ambCC $ \exit -> do
               ambCC $ \k -> addPoint k >> exit x
               amb xs
    where ambCC f = AmbT $ callCC $ \k -> unAmbT $ f $ AmbT . k

cut :: (Monad m) => AmbT r a m ()
cut = AmbT $ put []

runAmbT :: (Monad m) => AmbT r a m r -> m r
runAmbT (AmbT a) = runContT (evalStateT a []) return

runAmb :: Amb r a r -> r
runAmb = runIdentity . runAmbT

And some examples:

example :: Amb r Integer (Integer,Integer)
example = do x <- amb [1,2,3]
             y <- amb [4,5,6]
             if x*y == 8
               then return (x,y)
               else amb []

factor :: Integer -> Amb r Integer (Integer,Integer)
factor a = do x <- amb [2..]
              y <- amb [2..x]
              if x*y == a
                then return (x,y)
                else amb []

factorIO :: Integer -> AmbT r Integer IO (Integer,Integer)
factorIO a = do lift $ putStrLn $ "Factoring " ++ show a
                x <- amb [2..]
                y <- amb [2..x]
                lift $ putStrLn $ "Trying " ++ show x ++ " and " ++ show y
                if x*y == a
                  then do lift $ putStrLn "Found it!"
                          return (x,y)
                  else do lift $ putStrLn $ "Nope (" ++ show (x*y) ++ ")"
                          amb []