[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

Chapter 17
Data.Complex

module Data.Complex (  
    Complex(:+),  realPart,  imagPart,  mkPolar,  cis,  polar,  magnitude,  
    phase,  conjugate  
  ) where

17.1 Rectangular form

data RealFloat a => Complex a
= !a :+ !a forms a complex number from its real and imaginary rectangular components.

Complex numbers are an algebraic type.

For a complex number z, abs z is a number with the magnitude of z, but oriented in the positive real direction, whereas signum z has the phase of z, but unit magnitude.

instance RealFloat a => Eq (Complex a)
instance RealFloat a => Floating (Complex a)
instance RealFloat a => Fractional (Complex a)
instance RealFloat a => Num (Complex a)
instance (Read a, RealFloat a) => Read (Complex a)
instance RealFloat a => Show (Complex a)

realPart :: RealFloat a => Complex a -> a
Extracts the real part of a complex number.

imagPart :: RealFloat a => Complex a -> a
Extracts the imaginary part of a complex number.

17.2 Polar form

mkPolar :: RealFloat a => a -> a -> Complex a
Form a complex number from polar components of magnitude and phase.

cis :: RealFloat a => a -> Complex a
cis t is a complex value with magnitude 1 and phase t (modulo 2⋆pi).

polar :: RealFloat a => Complex a -> (a, a)
The function polar takes a complex number and returns a (magnitude, phase) pair in canonical form: the magnitude is nonnegative, and the phase in the range (-pi, pi]; if the magnitude is zero, then so is the phase.

magnitude :: RealFloat a => Complex a -> a
The nonnegative magnitude of a complex number.

phase :: RealFloat a => Complex a -> a
The phase of a complex number, in the range (-pi, pi]. If the magnitude is zero, then so is the phase.

17.3 Conjugate

conjugate :: RealFloat a => Complex a -> Complex a
The conjugate of a complex number.

17.4 Specification

 module Data.Complex(Complex((:+)), realPart, imagPart, conjugate, mkPolar,  
                     cis, polar, magnitude, phase)  where  
 
 infix  6  :+  
 
 data  (RealFloat a)     => Complex a = !a :+ !a  deriving (Eq,Read,Show)  
 
 
 realPart, imagPart :: (RealFloat a) => Complex a -> a  
 realPart (x:+y)        =  x  
 imagPart (x:+y)        =  y  
 
 conjugate      :: (RealFloat a) => Complex a -> Complex a  
 conjugate (x:+y) =  x :+ (-y)  
 
 mkPolar                :: (RealFloat a) => a -> a -> Complex a  
 mkPolar r theta        =  r ⋆ cos theta :+ r ⋆ sin theta  
 
 cis            :: (RealFloat a) => a -> Complex a  
 cis theta      =  cos theta :+ sin theta  
 
 polar          :: (RealFloat a) => Complex a -> (a,a)  
 polar z                =  (magnitude z, phase z)  
 
 magnitude :: (RealFloat a) => Complex a -> a  
 magnitude (x:+y) =  scaleFloat k  
                    (sqrt ((scaleFloat mk x)^2 + (scaleFloat mk y)^2))  
                   where k  = max (exponent x) (exponent y)  
                         mk = - k  
 
 phase :: (RealFloat a) => Complex a -> a  
 phase (0 :+ 0) = 0  
 phase (x :+ y) = atan2 y x  
 
 
 instance  (RealFloat a) => Num (Complex a)  where  
     (x:+y) + (x':+y') =  (x+x') :+ (y+y')  
     (x:+y) - (x':+y') =  (x-x') :+ (y-y')  
     (x:+y) ⋆ (x':+y') =  (x⋆x'-y⋆y') :+ (x⋆y'+y⋆x')  
     negate (x:+y)     =  negate x :+ negate y  
     abs z             =  magnitude z :+ 0  
     signum 0          =  0  
     signum z@(x:+y)   =  x/r :+ y/r  where r = magnitude z  
     fromInteger n     =  fromInteger n :+ 0  
 
 instance  (RealFloat a) => Fractional (Complex a)  where  
     (x:+y) / (x':+y') =  (x⋆x''+y⋆y'') / d :+ (y⋆x''-x⋆y'') / d  
                          where x'' = scaleFloat k x'  
                                y'' = scaleFloat k y'  
                                k   = - max (exponent x') (exponent y')  
                                d   = x'⋆x'' + y'⋆y''  
 
     fromRational a    =  fromRational a :+ 0  
 
 instance  (RealFloat a) => Floating (Complex a)       where  
     pi             =  pi :+ 0  
     exp (x:+y)     =  expx ⋆ cos y :+ expx ⋆ sin y  
                       where expx = exp x  
     log z          =  log (magnitude z) :+ phase z  
 
     sqrt 0         =  0  
     sqrt z@(x:+y)  =  u :+ (if y < 0 then -v else v)  
                       where (u,v) = if x < 0 then (v',u') else (u',v')  
                             v'    = abs y / (u'⋆2)  
                             u'    = sqrt ((magnitude z + abs x) / 2)  
 
     sin (x:+y)     =  sin x ⋆ cosh y :+ cos x ⋆ sinh y  
     cos (x:+y)     =  cos x ⋆ cosh y :+ (- sin x ⋆ sinh y)  
     tan (x:+y)     =  (sinx⋆coshy:+cosx⋆sinhy)/(cosx⋆coshy:+(-sinx⋆sinhy))  
                       where sinx  = sin x  
                             cosx  = cos x  
                             sinhy = sinh y  
                             coshy = cosh y  
 
     sinh (x:+y)    =  cos y ⋆ sinh x :+ sin  y ⋆ cosh x  
     cosh (x:+y)    =  cos y ⋆ cosh x :+ sin y ⋆ sinh x  
     tanh (x:+y)    =  (cosy⋆sinhx:+siny⋆coshx)/(cosy⋆coshx:+siny⋆sinhx)  
                       where siny  = sin y  
                             cosy  = cos y  
                             sinhx = sinh x  
                             coshx = cosh x  
 
     asin z@(x:+y)  =  y':+(-x')  
                       where  (x':+y') = log (((-y):+x) + sqrt (1 - z⋆z))  
     acos z@(x:+y)  =  y'':+(-x'')  
                       where (x'':+y'') = log (z + ((-y'):+x'))  
                             (x':+y')   = sqrt (1 - z⋆z)  
     atan z@(x:+y)  =  y':+(-x')  
                       where (x':+y') = log (((1-y):+x) / sqrt (1+z⋆z))  
 
     asinh z        =  log (z + sqrt (1+z⋆z))  
     acosh z        =  log (z + (z+1) ⋆ sqrt ((z-1)/(z+1)))  
     atanh z        =  log ((1+z) / sqrt (1-z⋆z))  

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]